由上，我們可以發(fā)現(xiàn)，一個(gè)三維旋轉(zhuǎn)可以用一個(gè)旋轉(zhuǎn)平面、一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)、一個(gè)旋轉(zhuǎn)方向、一個(gè)旋轉(zhuǎn)角來(lái)定義，如果稱旋轉(zhuǎn)前的點(diǎn)為“原始點(diǎn)”，則旋轉(zhuǎn)可定義為：在旋轉(zhuǎn)平面上，以不動(dòng)點(diǎn)為圓心，以不動(dòng)點(diǎn)到原始點(diǎn)的距離為半徑做一個(gè)圓，在該圓上以原始點(diǎn)為起點(diǎn)往旋轉(zhuǎn)方向畫一道弧，該弧對(duì)應(yīng)的角度大小等于旋轉(zhuǎn)角，則該弧的中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)。

旋轉(zhuǎn)的代數(shù)表示

我們已經(jīng)知道一個(gè)旋轉(zhuǎn)在幾何上可以用一個(gè)旋轉(zhuǎn)平面、一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)、一個(gè)旋轉(zhuǎn)方向、一個(gè)旋轉(zhuǎn)角來(lái)定義，但是計(jì)算機(jī)要表示旋轉(zhuǎn)的話，需要更加代數(shù)化的表示，最好就是向量、矩陣這類數(shù)的排列。我們一個(gè)個(gè)來(lái)看：

旋轉(zhuǎn)平面也只是一個(gè)普通的平面而已，而任何一個(gè)平面都能用平面上的一點(diǎn)和垂直于該平面的法向量來(lái)定義。我們知道原始點(diǎn)和不動(dòng)點(diǎn)必定在旋轉(zhuǎn)平面上，所以要表示一個(gè)旋轉(zhuǎn)平面用一個(gè)向量就夠了。不動(dòng)點(diǎn)，就是對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)數(shù)值構(gòu)成的一個(gè)向量而已。旋轉(zhuǎn)方向，我們可以定義與上文中提到的旋轉(zhuǎn)平面的法向量滿足右手螺旋法則的方向?yàn)樾D(zhuǎn)方向。右手螺旋法則就是說(shuō)，舉起右手，把大拇指立起來(lái)，讓大拇指朝向法向量方向，最后把剩下四指收進(jìn)掌心，則此時(shí)四指的方向就是旋轉(zhuǎn)方向。旋轉(zhuǎn)角，就只是一個(gè)實(shí)數(shù)來(lái)表示大小而已。

綜上，一個(gè)旋轉(zhuǎn)要用代數(shù)來(lái)表示的話需要四樣?xùn)|西：一個(gè)表示旋轉(zhuǎn)平面法線方向的向量，一個(gè)表示不動(dòng)點(diǎn)的向量，一種由旋轉(zhuǎn)平面法向量得出旋轉(zhuǎn)方向的規(guī)定，一個(gè)表示旋轉(zhuǎn)角度的實(shí)數(shù)。

假如我們規(guī)定不動(dòng)點(diǎn)是原點(diǎn)，并使用右手螺旋法則來(lái)求旋轉(zhuǎn)方向，且稱旋轉(zhuǎn)平面法向量為“旋轉(zhuǎn)軸”，那么一個(gè)旋轉(zhuǎn)就只有兩樣?xùn)|西：旋轉(zhuǎn)軸、旋轉(zhuǎn)角——一個(gè)向量、一個(gè)實(shí)數(shù)。之后我們說(shuō)“旋轉(zhuǎn)”的時(shí)候都是指這樣一個(gè)只由旋轉(zhuǎn)軸、旋轉(zhuǎn)角表示的旋轉(zhuǎn)。

旋轉(zhuǎn)的運(yùn)算

上文中最后指出一個(gè)旋轉(zhuǎn)可以只由旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)角來(lái)表示，這樣它確實(shí)很容易被計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)，但我們的最終目標(biāo)是快速地計(jì)算出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo)。所以不止是存儲(chǔ)，我們還需要一套方便的運(yùn)算方法。

注：一般來(lái)說(shuō)，旋轉(zhuǎn)的運(yùn)算有兩類方法，矩陣運(yùn)算與四元數(shù)運(yùn)算。這里只提及矩陣運(yùn)算的思想，因?yàn)樗脑獢?shù)的話，必須講解數(shù)學(xué)，比較麻煩，而且使用恰當(dāng)時(shí)，四元數(shù)也不會(huì)帶來(lái)萬(wàn)向節(jié)死鎖問(wèn)題。

計(jì)算機(jī)中計(jì)算旋轉(zhuǎn)，是通過(guò)疊加的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)的。首先，應(yīng)該很容易明白，如果先做一個(gè)旋轉(zhuǎn)，再做另一個(gè)旋轉(zhuǎn)，那么實(shí)際上這兩個(gè)旋轉(zhuǎn)疊加的效果相當(dāng)于做了一個(gè)等效的旋轉(zhuǎn)，也就是兩個(gè)旋轉(zhuǎn)疊加以后還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)。這是因?yàn)楦鶕?jù)旋轉(zhuǎn)的定義，兩次旋轉(zhuǎn)都不會(huì)改變點(diǎn)到不動(dòng)點(diǎn)的距離。具體來(lái)說(shuō)，如果原始點(diǎn)是x，第一次旋轉(zhuǎn)后變成了x1，第二次旋轉(zhuǎn)后是x2，那么x, x1, x2到不動(dòng)點(diǎn)的距離是相等的，所以我們可以把x到x2的這一整個(gè)過(guò)程看作是一個(gè)單獨(dú)的旋轉(zhuǎn)。

其次，還應(yīng)該能比較容易地接受一個(gè)結(jié)論：繞任意旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)都可以由三個(gè)分別繞x,y,z軸的旋轉(zhuǎn)疊加得到。也就是，若C是一個(gè)任意旋轉(zhuǎn)，則總是存在繞x軸的旋轉(zhuǎn)X，繞y軸的旋轉(zhuǎn)Y，繞z軸的旋轉(zhuǎn)Z，使得C(p)=Z(Y(X(p)))。關(guān)于這一結(jié)論，此處不作展開。通過(guò)應(yīng)用這一結(jié)論，計(jì)算機(jī)內(nèi)部可以用三個(gè)旋轉(zhuǎn)的疊加來(lái)表示任意旋轉(zhuǎn)。而繞x, y, z軸的旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)都是比較容易得到的。

以繞z軸的旋轉(zhuǎn)角為θ的旋轉(zhuǎn)為例，若旋轉(zhuǎn)前的點(diǎn)的坐標(biāo)為

，旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為

，則有

，若用矩陣、向量的形式來(lái)寫的話，就是

。關(guān)于x, y軸的旋轉(zhuǎn)也都可以如此用矩陣運(yùn)算來(lái)表示。

而矩陣之間可以用乘法進(jìn)行運(yùn)算得到一個(gè)新矩陣，所以如果繞z,y,x軸的旋轉(zhuǎn)矩陣分別為Z,Y,X，那么它們的乘積ZYX也是一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣。

萬(wàn)向節(jié)死鎖

由上文可知，我們總是可以用三個(gè)分別表示繞x,y,z軸旋轉(zhuǎn)的矩陣的乘積來(lái)表示任意一個(gè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)算。這看起來(lái)似乎沒有問(wèn)題，事實(shí)上，絕大多數(shù)情況也確實(shí)沒有任何問(wèn)題。

這里要稍微偏離一下話題，考慮一下自己的手臂。觀察手臂的構(gòu)造，我們可以發(fā)現(xiàn)它大致為：肩膀-肩關(guān)節(jié)-上臂-肘關(guān)節(jié)-小臂-腕關(guān)節(jié)-手。也就是我們用三個(gè)關(guān)節(jié)連接了四塊部件，這三個(gè)關(guān)節(jié)為我們的手臂提供了靈活性，因?yàn)槲覀兊墓穷^可以在關(guān)節(jié)處旋轉(zhuǎn)。如果沒有關(guān)節(jié)的話，手臂就會(huì)是筆直筆直的，沒法彎曲了。來(lái)做一個(gè)不符合實(shí)際的假設(shè)，假設(shè)肩關(guān)節(jié)只能沿z軸旋轉(zhuǎn)（把你的上臂上下抬動(dòng)），肘關(guān)節(jié)只能繞y軸旋轉(zhuǎn)（縮起小臂到胸前這類的），腕關(guān)節(jié)只能繞x軸旋轉(zhuǎn)（讓你的拳頭像撥浪鼓一樣轉(zhuǎn)來(lái)轉(zhuǎn)去），然后把手?jǐn)傞_，考慮手心的面向與手指的朝向。如果我們的關(guān)節(jié)能360度旋轉(zhuǎn)的話，那這就和上面提到的三個(gè)沿坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)的疊加是一樣的。轉(zhuǎn)動(dòng)肩關(guān)節(jié)時(shí)，顯然我們的掌心也會(huì)跟著轉(zhuǎn)動(dòng)，改變面向，這說(shuō)明肘關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)作用到了手的轉(zhuǎn)動(dòng)這邊。顯然，肘關(guān)節(jié)、腕關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)也會(huì)作用到手上，也就是說(shuō)三個(gè)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)疊加到了手上面。另一方面，因?yàn)樯厦嫣岬饺我庑D(zhuǎn)都能由三個(gè)沿坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)的疊加得到，所以我們的手心和手指能朝向任何方向。這看起來(lái)沒有問(wèn)題。

但是此時(shí)考慮一種情況，如圖中所示（模型使用 ** gic poser web），抬平上臂，把小臂抬平到胸前。然后嘗試腕關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)和肩關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)不同的關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)，會(huì)使得手心朝向的轉(zhuǎn)變是相同的——都是沿z軸，也就是肩關(guān)節(jié)繞著旋轉(zhuǎn)的那個(gè)軸，而手指的朝向則是固定不變的。換句話說(shuō)，我們本應(yīng)是分別沿x軸、z軸這兩個(gè)方向的旋轉(zhuǎn)，現(xiàn)在變成了沿相同方向的旋轉(zhuǎn)了。

為什么會(huì)這樣呢？注意到三個(gè)關(guān)節(jié)并不是獨(dú)立的：肩關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)會(huì)帶動(dòng)肘關(guān)節(jié)和腕關(guān)節(jié)的移動(dòng)，肘關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)也會(huì)帶動(dòng)腕關(guān)節(jié)的移動(dòng)。正如同這三個(gè)關(guān)節(jié)都會(huì)作用到位處手臂末端的手一樣，上面的關(guān)節(jié)也會(huì)作用到下面的關(guān)節(jié)。旋轉(zhuǎn)肩關(guān)節(jié)時(shí)會(huì)同時(shí)帶動(dòng)肘關(guān)節(jié)和腕關(guān)節(jié)，所以對(duì)之后肘關(guān)節(jié)與腕關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的影響是相同的。但是肘關(guān)節(jié)只會(huì)帶動(dòng)腕關(guān)節(jié)，不會(huì)帶動(dòng)肩關(guān)節(jié)。上文中，抬平小臂到胸前的行為就轉(zhuǎn)動(dòng)了肘關(guān)節(jié)，從而影響到了腕關(guān)節(jié)，但是沒有對(duì)肩關(guān)節(jié)產(chǎn)生影響，結(jié)果導(dǎo)致腕關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)的效果變成與肩關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)一樣的效果了。

回到原來(lái)的問(wèn)題，在計(jì)算機(jī)中用三個(gè)矩陣表示任意旋轉(zhuǎn)是否也會(huì)有同樣的問(wèn)題呢？注意到上述問(wèn)題之所以會(huì)產(chǎn)生是因?yàn)橹虚g的關(guān)節(jié)會(huì)影響到最下面的關(guān)節(jié)，而不會(huì)影響到最上面的關(guān)節(jié)。再看看矩陣表示的旋轉(zhuǎn)，我們用ZYX這一矩陣乘積來(lái)表示任意旋轉(zhuǎn)，也就是p'=ZYXp，我們將Z,Y,X,ZYX這四個(gè)矩陣都給寫出來(lái)看看：

若我們?nèi)?/p>

，則乘積變?yōu)?/p>

，注意到無(wú)論我們?cè)鯓有薷摩?、φ，都不?huì)改變z’的值，z’始終等于-x。也就是說(shuō)，當(dāng)我們沿y軸旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，此時(shí)X,Z這兩個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣都是在進(jìn)行繞z軸的旋轉(zhuǎn)。這與之前手臂的情況是相同的。因?yàn)榫仃嚨南喑俗饔玫絧點(diǎn)也是有順序的，我們先左乘X，再左乘Y，那么在乘Y時(shí)，實(shí)際上也影響到了已經(jīng)乘進(jìn)去的X。而在乘Z的時(shí)候，會(huì)對(duì)X和Y產(chǎn)生相同的影響。所以這里的p就相當(dāng)于我們的手心與手指的朝向，X相當(dāng)于腕關(guān)節(jié)，Y相當(dāng)于肘關(guān)節(jié)，Z相當(dāng)于肩關(guān)節(jié)。Y會(huì)對(duì)X產(chǎn)生影響，但影響不到Z，使得X變成與Z沿著相同軸旋轉(zhuǎn)的矩陣。

結(jié)語(yǔ)

本文講了講旋轉(zhuǎn)的定義、計(jì)算機(jī)中旋轉(zhuǎn)的運(yùn)算方式，然后重點(diǎn)講解了隨之而來(lái)的萬(wàn)向節(jié)死鎖問(wèn)題。在這里順帶提一下萬(wàn)向節(jié)這東西，原版的萬(wàn)向節(jié)中之所以會(huì)有萬(wàn)向節(jié)死鎖問(wèn)題，也是因?yàn)槿齻€(gè)環(huán)并不完全獨(dú)立，中間的環(huán)會(huì)帶動(dòng)最里面的環(huán)，但不會(huì)影響到最外面的環(huán)。萬(wàn)向節(jié)死鎖問(wèn)題是個(gè)不可避免的問(wèn)題，只要使用不相互獨(dú)立的三次旋轉(zhuǎn)來(lái)表示任意旋轉(zhuǎn)，都會(huì)帶來(lái)這一問(wèn)題。但是萬(wàn)向節(jié)死鎖并不可怕，它僅僅只會(huì)在中間的旋轉(zhuǎn)取極端值的情況下出現(xiàn)，若我們只是想表示一個(gè)旋轉(zhuǎn)，那萬(wàn)向節(jié)死鎖不會(huì)帶來(lái)任何問(wèn)題，畢竟我們總是能找到沿坐標(biāo)軸的三個(gè)旋轉(zhuǎn)來(lái)表示任意旋轉(zhuǎn)。萬(wàn)向節(jié)死鎖只會(huì)在需要旋轉(zhuǎn)不斷疊加的情況下才會(huì)導(dǎo)致問(wèn)題，例如飛機(jī)控制、旋轉(zhuǎn)插值。所以在那方面的應(yīng)用中，本文沒有提及的四元數(shù)被廣泛引用。

萬(wàn)向節(jié)死鎖到底是什么，它又為何產(chǎn)生這問(wèn)題實(shí)在是困擾了我相當(dāng)久，僅以此 ** 個(gè)記錄，若有不正之處，歡迎指出。