四元數(shù)應(yīng)用——轉(zhuǎn)矩陣、Slerp插值與萬向節(jié)

四元數(shù)應(yīng)用——順序無關(guān)的旋轉(zhuǎn)混合

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今天說一些關(guān)于四元數(shù)的相關(guān)實(shí)例，較前兩篇可能有些零碎，算是對(duì)于前兩章的補(bǔ)充說明。具體來說，我們接下來會(huì)討論三個(gè)問題，第一個(gè)是四元數(shù)與矩陣的轉(zhuǎn)換，其次是四元數(shù)的插值問題，最后說一下萬向節(jié)死鎖問題。話不多說，開始正題。

1.四元數(shù)的矩陣形式

目前對(duì)于大多數(shù)底層的圖形API，其對(duì)于空間坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換還是基于矩陣。所以當(dāng)我們使用四元數(shù)對(duì)旋轉(zhuǎn)進(jìn)行操作，最終傳遞給頂點(diǎn)著色器的數(shù)據(jù)還是要以矩陣的形式。不過，從應(yīng)用層的角度來說，我們只要滿足如下的公式就可以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換。

我相信大多數(shù)人并不滿足于背公式，推導(dǎo)該公式的方法主要有兩種。其中一種就是從代數(shù)的角度進(jìn)行求解，說白了就是硬算。我們在《四元數(shù)和旋轉(zhuǎn)（二）》中提到一個(gè)公式：

我們分別求出各項(xiàng)，可以得到三個(gè)矩陣，然后相加就是上面那個(gè)轉(zhuǎn)換公式。這里不做推導(dǎo)，有興趣的可以自己算一算。下面介紹一種比較靈性的一種證明方法。當(dāng)給定下面兩個(gè)四元數(shù)：

我們令他們相乘，其實(shí)可以寫成矩陣與向量相乘的形式，如下圖：

可以這么說，兩個(gè)四元數(shù)相乘轉(zhuǎn)變成矩陣L右乘四元數(shù)q。發(fā)散一下思維，我們還可以將該行為寫成矩陣R左乘四元數(shù)q，具體形式如下圖：

最體看L和R括號(hào)里面的四元數(shù)下標(biāo)，由于四元數(shù)不滿足交換律，所以順序很重要，而括號(hào)里面的下標(biāo)其實(shí)是不一樣的，這個(gè)地方一定要注意?；A(chǔ)知識(shí)講完了，下面就直接進(jìn)行應(yīng)用。根據(jù)旋轉(zhuǎn)公式和以上的定義，我們很容易得到如下公式：

然后將L和R帶入上述的矩陣中，我們可以得到：

證畢！

2.四元數(shù)的Slerp插值

其實(shí)插值問題一直都算是圖形學(xué)中比較經(jīng)典的問題，一般來說線性插值可以滿足大多數(shù)的情況，但是對(duì)于旋轉(zhuǎn)來說，線性插值肯定效果不好，我們來看下圖：

從圖中很明顯看出，左圖（線插）要遜于右圖（球插）。一種從動(dòng)畫的角度解釋是，為了保證每幀的旋轉(zhuǎn)都是均勻變化的，線性插值得到的旋轉(zhuǎn)結(jié)果一定是不均勻的，這主要考慮的是旋轉(zhuǎn)角度。那我們從代數(shù)的角度去思考，如果兩個(gè)單位四元數(shù)之間進(jìn)行插值，如左圖的線性插值，得到的四元數(shù)一定不是單位四元數(shù)，我們期望對(duì)于旋轉(zhuǎn)的插值應(yīng)該是不改變長度的，所以顯然右圖球面（Slerp）插值更為合理。

關(guān)于四元數(shù)的球面插值證明就很多了，Wiki上面就有很詳細(xì)的證明以及實(shí)現(xiàn)的Code。主體思想其實(shí)就是施密特正交，先根據(jù) 和 解算出兩個(gè)正 交的四元數(shù)，然后通過加權(quán)算出最終的 。下圖能很好的說明白這個(gè)事。

下面主要討論的是這個(gè)問題，上圖中給出了球面插值公式的一種形式，我們暫且稱為加法形式。由于四元數(shù)旋轉(zhuǎn)是相乘的形式，我們上述的公式亦可以寫成：

鑒于刨根問底的精神，首先先說說四元數(shù)的差（Difference），這個(gè)比較好理解，類似于矩陣，A和B的差，可以理解成先旋轉(zhuǎn)A逆然后再旋轉(zhuǎn)B，得到A和B之間的差值，表示為 。然后我們?nèi)绻倍的差或者直接說差乘以一個(gè)t因子，這里就要引用了我們在《四元數(shù)與旋轉(zhuǎn)（一）》中所述的四元數(shù)指數(shù)形式。對(duì)于 ，我們來看看 和 的情況，具體如下：

最后我們令 以及 ，根據(jù)下面公式重新審視一下球面插值：

可以看出，兩種表現(xiàn)形式之間是可以互相轉(zhuǎn)化的。

3.萬向節(jié)死鎖

其實(shí)這個(gè)問題不能算的上四元數(shù)的應(yīng)用，萬向節(jié)死鎖早期是用來處理機(jī)械臂在旋轉(zhuǎn)時(shí)自由度缺失的問題，由于當(dāng)時(shí)機(jī)械臂的關(guān)節(jié)都是單自由度的，所以在模擬人體某些球形關(guān)節(jié)（自由度為3的關(guān)節(jié)）的時(shí)候，會(huì)采用三組相互正交的機(jī)械關(guān)節(jié)進(jìn)行模擬。

如圖所示，機(jī)械關(guān)節(jié)1-3共同模擬了手腕的活動(dòng)，這里會(huì)導(dǎo)致一個(gè)問題，當(dāng)關(guān)節(jié)2旋轉(zhuǎn)90°后，關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)3會(huì)重合，這樣無論旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)1還是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)3都只會(huì)沿著 軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，這就是萬向節(jié)死鎖。值得一提的是，當(dāng)你旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)1，關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3都會(huì)隨著一起動(dòng)，而當(dāng)你旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)3，無論怎么旋轉(zhuǎn)也不會(huì)影響關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)1，所以只有關(guān)節(jié)2旋轉(zhuǎn)90°會(huì)產(chǎn)生萬向節(jié)死鎖。

當(dāng)早期計(jì)算機(jī)動(dòng)畫將機(jī)器人那套東西搬過來的時(shí)候，最簡單的做法就是用歐拉角直接模擬旋轉(zhuǎn)。這就導(dǎo)致了萬向節(jié)死鎖。那怎么去理解計(jì)算機(jī)動(dòng)畫里面的這個(gè)問題呢，畢竟動(dòng)畫里面也沒有機(jī)械關(guān)節(jié)。

我們假定三個(gè)歐拉角的旋轉(zhuǎn)順序如下

當(dāng) 的時(shí)候， 和 就會(huì)重合，如右圖，這樣就會(huì)產(chǎn)生萬向節(jié)死鎖。

所以為了避免這個(gè)問題，圖形學(xué)旋轉(zhuǎn)開始使用軸角，因?yàn)檩S角可以講三個(gè)歐拉角等效成一個(gè)繞著特定軸旋轉(zhuǎn)的角度。低版本的OpenGL有個(gè)函數(shù)glRotate函數(shù)，實(shí)現(xiàn)的方法就是使用軸角。當(dāng)然，并不是軸角不存在萬向節(jié)死鎖，當(dāng)存在三個(gè)相互正交的軸角按一定順序進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，依然會(huì)產(chǎn)生萬向節(jié)死鎖，不過這種情況很難發(fā)生。

那么軸角已經(jīng)解決這個(gè)問題，為什么我們要用四元數(shù)？

4.四元數(shù)總結(jié)

最后點(diǎn)個(gè)題，呼應(yīng)一下前文，具體說說四元數(shù)的好處：

解決萬向節(jié)死鎖（Gimbal Lock）問題。（不要去用四元數(shù)模擬歐拉角?。﹥H需存儲(chǔ)4個(gè)浮點(diǎn)數(shù)，相比矩陣更加輕量。比如矩陣至少要用9個(gè)float進(jìn)行表示旋轉(zhuǎn)信息，即便加上旋轉(zhuǎn)縮放，也會(huì)比矩陣少存2-6個(gè)float，對(duì)于在PC上開發(fā)的游戲可能并不顯著，畢竟現(xiàn)在內(nèi)存都大，但在家用機(jī)（特別是上世代）上，內(nèi)存比較吃緊的情況下就相當(dāng)有利了。四元數(shù)無論是求逆、串聯(lián)等操作，相比矩陣更加高效。比如取反就等同于求逆，即便是正交矩陣，轉(zhuǎn)置的操作代價(jià)也比取反要高得多，更何況大多數(shù)情況由于存在縮放，求逆的操作會(huì)更加復(fù)雜。但是，使用四元數(shù)需要考慮將四元數(shù)與矩陣之間轉(zhuǎn)換的成本，不過綜合考慮，還是四元數(shù)操作成本比較低。

基本上四元數(shù)在我這也就告一段落了，之后會(huì)有請人 @Obsver Anonym 續(xù)一篇具體應(yīng)用的文章，請大家敬請期待！