四元數(shù)應(yīng)用——轉(zhuǎn)矩陣、Slerp插值與萬向節(jié)四元數(shù)應(yīng)用——順序無關(guān)的旋轉(zhuǎn)混合—————————————————————————————————————————今天說一些關(guān)于四元數(shù)的相關(guān)實(shí)例，較前兩篇可能有些零碎，算是對于前兩章的補(bǔ)充說明。具體來說，我們接下來會討論三個問題，第一個是四元數(shù)與矩陣的轉(zhuǎn)換，其次是四元數(shù)的插值問題，最后說一下萬向節(jié)死鎖問題。話不多說，開始正題。1.四元數(shù)的矩陣形式 目前對于大多數(shù)底層的圖形API，其對于空間坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換還是基于矩陣。所以當(dāng)我們使用四元數(shù)對旋轉(zhuǎn)進(jìn)行操作，最終傳遞給頂點(diǎn)著色器的數(shù)據(jù)還是要以矩陣的形式。不過，從應(yīng)用層的角度來說，我們只要滿足如下的公式就可以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換。我相信大多數(shù)人并不滿足于背公式，推導(dǎo)該公式的方法主要有兩種。其中一種就是從代數(shù)的角度進(jìn)行求解，說白了就是硬算。我們在《四元數(shù)和旋轉(zhuǎn)（二）》中提到一個公式：我們分別求出各項(xiàng)，可以得到三個矩陣，然后相加就是上面那個轉(zhuǎn)換公式。這里不做推導(dǎo)，有興趣的可以自己算一算。下面介紹一種比較靈性的一種證明方法。當(dāng)給定下面兩個四元數(shù)：我們令他們相乘，其實(shí)可以寫成矩陣與向量相乘的形式，如下圖：可以這么說，兩個四元 ...

由上，我們可以發(fā)現(xiàn)，一個三維旋轉(zhuǎn)可以用一個旋轉(zhuǎn)平面、一個不動點(diǎn)、一個旋轉(zhuǎn)方向、一個旋轉(zhuǎn)角來定義，如果稱旋轉(zhuǎn)前的點(diǎn)為“原始點(diǎn)”，則旋轉(zhuǎn)可定義為：在旋轉(zhuǎn)平面上，以不動點(diǎn)為圓心，以不動點(diǎn)到原始點(diǎn)的距離為半徑做一個圓，在該圓上以原始點(diǎn)為起點(diǎn)往旋轉(zhuǎn)方向畫一道弧，該弧對應(yīng)的角度大小等于旋轉(zhuǎn)角，則該弧的中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的代數(shù)表示 我們已經(jīng)知道一個旋轉(zhuǎn)在幾何上可以用一個旋轉(zhuǎn)平面、一個不動點(diǎn)、一個旋轉(zhuǎn)方向、一個旋轉(zhuǎn)角來定義，但是計(jì)算機(jī)要表示旋轉(zhuǎn)的話，需要更加代數(shù)化的表示，最好就是向量、矩陣這類數(shù)的排列。我們一個個來看：旋轉(zhuǎn)平面也只是一個普通的平面而已，而任何一個平面都能用平面上的一點(diǎn)和垂直于該平面的法向量來定義。我們知道原始點(diǎn)和不動點(diǎn)必定在旋轉(zhuǎn)平面上，所以要表示一個旋轉(zhuǎn)平面用一個向量就夠了。不動點(diǎn)，就是對應(yīng)的坐標(biāo)數(shù)值構(gòu)成的一個向量而已。旋轉(zhuǎn)方向，我們可以定義與上文中提到的旋轉(zhuǎn)平面的法向量滿足右手螺旋法則的方向?yàn)樾D(zhuǎn)方向。右手螺旋法則就是說，舉起右手，把大拇指立起來，讓大拇指朝向法向量方向，最后把剩下四指收進(jìn)掌心，則此時四指的方向就是旋轉(zhuǎn)方向。旋轉(zhuǎn)角，就只是一個實(shí)數(shù)來表示大小而已。綜上，一個旋轉(zhuǎn)要 ...